問題の読解における着眼点(数学)fujitasign

解き方を考える以前に、問題がどれだけ深く読み取れているかで大きく差がつきます。
問題を読み取る際「何に注目するか」「どんな姿勢で読み取るか」を学び、問題の読み方を鍛えましょう。

目力数トレ 英語暗記例文集 イメージ英作文 思考と視点の探究

掲載項目一覧

順次更新中(最終更新日:2018年10月1日)
数式を読み取るときの着眼点
式の形: x,yの1次式 | x,yの2次式 | 対称性のある式 | 図形的意味が盲点になり易い式 | 絶対値記号 | ガウス記号[ ] |
関数: 最大値・最小値 | 連続 | 微分可能 | 微分係数・導関数 | 極値 | 逆関数 |
数列: 特徴付け | 等差数列 | 群数列 |
数: 定数・変数 | 数のカテゴリー | | 大小 | 桁数・最高位の数 | p進法 |
極限: 無限級数
図形を読み取るときの着眼点
図形量: | 内積 | 面積 |
定義・性質: 三角形の心 | 曲線の定義・特徴 | 2次曲線 |
図形: 三角形 | 正◯角形 | 直線 | 平面 | |
点: 位置 |
曲線: グラフ・曲線をかくときに | 〜に関して対称 |
状態: 接する | 3点が同一直線上 | 4点が同一円周上 | 3直線が1点で交わる | 円と直線 | 2点が直線に関して対称 |
基礎概念: 向き |
分野ごとの読解における着眼点
三角比 | 整数 | 場合の数 |
整式 | 図形と方程式 | 三角関数 | 対数 | 数列 | ベクトル |
複素数平面 | 極限 |
キーワード毎の着眼点
ならば | 任意の〜に対して… | 必要・十分・同値 | 変化・一定・範囲・最大最小 | 値域 | 一定 | 周期 | 〜となる最大の… | 共通接線 |
入試で頻出の大テーマ
漸化式で定まる数列 | $n$個・$n$回後の問題 | 積分方程式 | 物理量に関する問題



数式を読み取るときの着眼点

●「変数」に着目(何種類?何カ所?式の形?変域?)
●「意味」「役割」を考える
●「対称性」に着目(考える部分を減らせる?&特殊解法?)

■■■ 式の形 ■■■

x,yの1次式

ax+by
→ 2つのベクトル(a,b)と(x,y)の内積の値

x,yの2次式

■xy+◯x+□y+△=0 → (x+…)(y+…)=k と変形
→ k≠0 ならば 双曲線
→ k=0 ならば 2直線の和集合
■◯x^2+□y^2+(x,yの1次式)=0 → a(x+…)^2+b(y+…)^2=k と変形
→ a=b のとき
  → kがa,bと同符号 ならば 円
  → k=0 ならば 点
  → kがa,bと異符号 ならば 図形なし(空集合)
→ a≠b かつ a,bが同符号 のとき
  → kがa,bと同符号 ならば 楕円
  → k=0 ならば 点
  → kがa,bと異符号 ならば 図形なし(空集合)
→ a,b が異符号のとき → (x,yの1次式)(x,yの1次式)=k と変形
  → k≠0 ならば 双曲線
  → k=0 ならば 2直線の和集合

対称性のある式

■対称式 → 基本対称式だけで表せる。
☆xとyの対称式 → x+yとxyだけで表せる → x,y,zは2次方程式…の2解とみなせる
☆x,y,zの対称式 → x+y+z, xy+yz+zx, xyzだけで表せる → x,y,zは3次方程式…の3解とみなせる
☆sinとcosの対称式 → 和だけで表せる(sin+cos=kと置くと扱いやすい)
☆xと1/xの対称式 → 和だけで表せる
■単独では対称式でないが連立すると対称性のある連立方程式 → 辺々を加えたり引いたり掛けたりすると対称式が作れる
■基本対称式からなる連立方程式 → 解と係数の関係を用いて単独の方程式に帰着できる
■文字の大小を設定する(敢えて対称性を崩す)
☆考える場合が減らせる
☆利用できる不等式が増える
■和と積についての大小 → (相加平均)≧(相乗平均) が利用できることがある
■係数が左右対称(相反方程式) → 両辺をxで割って、(最低次数)=ー(最高次数)となるように変形すると、x+1/x=tの多項式にすることができる。

図形的意味が盲点になり易い式

(a≠0, b≠0)
→ 2乗すると見易い
☆ a>0 or a<0 → 双曲線(の上半分)
☆ a=-1, b>0 → 円(の上半分)
☆ a<0, a≠-1, b>0 → 円(の上半分)
■xa+ya=1 (x>0, y>0)
(ア)a=1なら直線y=-x+1,(イ)a=2なら単位円
☆ a>2 → (イ)よりもっと膨らんだ形(ただしx<1, y<1に注意)
☆ 1< a<2 → (ア)と(イ)の中間の形
☆ 0< a<1 → (ア)よりへこんだ形(座標軸により近い)
■y=f(x)sin x (y=f(x)cos x も同様)
→ y=sin xのグラフを上下に引き伸ばし,y=f(x) と y=f(x) のグラフが振幅の関数となるように貼り付けるイメージ
■x=f(t)sin t, y=f(t)cos t (tはパラメータ)
→ x軸から角tの方向に距離f(t)だけ離れたところにある点(x,y)がtにより動いて描く図形
☆ f(t)がtによらない一定値であるときのみ,点(x,y)は原点を中心とする円を描く

絶対値記号|…|

■定義I:実数xに対して,|x|は次のように定められる
 |x| = (数直線上における点xの原点0からの距離)
■定義II:複素数zに対して,|z|は次のように定められる(数III)
 |z| = (複素数平面上における点zの原点0からの距離)
(この定義は定義Iを拡張したものであり,定義Iの情報を含んでいる)
■定義III:ベクトル$\overrightarrow{p}$に対して,$|\overrightarrow{p}|$は次のように定められる
 $|\overrightarrow{p}|$ = ($\overrightarrow{p}=\overrightarrow{\rm OP}$を満たす有向線分OPの長さ)
■絶対値の性質
・0以上の実数値をとる(定義I,II,IIIによらない)
・$|x|=0~\Longleftrightarrow ~x=0$(定義I,II),$|\vec{p}|=0~\Longleftrightarrow ~\vec{p}=0$(定義III)
・$|a+b|\leqq |a|+|b|$(定義I,II,IIIによらない)
・ $a$,$b$が実数の場合, $|a+b|=|a|+|b| ~\Longleftrightarrow ~ ab\geqq 0$(定義I)
 $\alpha$,$\beta$が複素数の場合, $|\alpha +\beta |=|\alpha |\beta | ~\Longleftrightarrow ~ \vec{o\alpha},\vec{0\beta}$のうち一方が他方の実数倍である(定義II)
 $|\overrightarrow{p}+\overrightarrow{q}|=|\overrightarrow{p}|+|\overrightarrow{q}| ~\Longleftrightarrow ~ \overrightarrow{p},\overrightarrow{q}$のうち一方が他方の実数倍である(定義III)
■効果的な読み取り方
・$A$が実数の場合 : $|A|=(A$と$-A$のうち0以上である方$)$
・$A$,$B$が実数の場合 : $|A-B|=(A,B$のうち[大きい方]$-$[小さい方]$)$
・$|f(x)|$:$y=f(x)$のグラフを描き,$x$軸との上下から$|\cdots |$の中身の符号を読み取ることで絶対値記号を外すことができる
・$y=|f(x)|$のグラフ:$y=f(x)$のグラフの$x$軸より下の部分を$x$軸に関して折り返して描く

ガウス記号[ ]

■定義(実数xに対して[x]を次のように定める)
 [x] = (xを越えない最大の整数)
■[x]の性質
・[x] は (xの整数部分) である
・[x] は x-1 < k ≦ x を満たす整数である
■効果的な読み取り方
[x]が扱いにくい場合
→ x-1<[x]≦x として[x]を簡単な式x-1とxではさむ
xが扱いにくい場合
→[x]≦x<[x]+1 としてxを整数[x]と[x]+1ではさむ

■■■ 関数 ■■■

関数の最大値・最小値(max, min)(→求め方
■「f(x)の最大値・最小値」の読み取り
「xに何かを代入したときに得られるf(x)の値」のこと
→「xに何を代入した値なのか」に注意する

関数の連続
■f(x)が連続
… 定義に属する各のxにおいて連続である
■f(x)がx=aにおいて連続
xの値をaにどんどん近づけるにつれ、f(x)の値がf(a)という値にどんどん近づいていく
x→aのときf(x)→f(a)
x→a+0のときもx→a-0のときもf(x)→f(a)となる
h→0のときf(a+h)→f(a)
h→+0のときもh→-0のときもf(a+h)→f(a)となる

関数の微分可能性
■f(x)が微分可能
… 定義に属する各のxにおいて微分可能である
■f(x)がx=aにおいて微分可能
xの値をaにどんどん近づけるにつれ、f(x)-f(a)/x-a の値がある有限の値にどんどん近づいていく
x→aのときf(x)-f(a)/x-aがある有限の値に収束する
x→a+0のときもx→a-0のときもf(x)-f(a)/x-aがある有限の同じ値に収束する
h→0のときf(a+h)-f(a)/x-aがある有限の値に収束する
h→+0のときもh→-0のときもf(a+h)-f(a)/x-aがある有限の同じ値に収束する

微分係数・導関数
■微分係数
☆平均変化率の極限値として定義される
☆グラフの傾きを表す
■導関数
微分係数を関数値にとる関数として定義される
その正負が元の関数の増減に対応する


極値
■一般の関数での定義
極大値…その周辺での最大値
極小値…その周辺での最小値
(「その周辺」はどんなに狭くても構わないが、左右に正の幅をもっていること)
■微分可能な関数の場合
極大値…xの値を増加させていくとき、f'(x)の正負が前後で正→負と入れ替わる瞬間のf(x)の値
極大値…xの値を増加させていくとき、f'(x)の正負が前後で負→正と入れ替わる瞬間のf(x)の値

逆関数
☆関数y=f(x)は「f:x→y」と書いて捉える。
☆2変数s,tに対して2つの関数f,gが「f:s→t」「g:t→s」(すなわち「t=f(s)」「s=g(t)」)を満たすとき、gはfの逆関数である。
☆上の場合,g=f-1と書く。「t=f(s)」「s=f-1(t)」

■■■ 列 ■■■

数列の特徴付けの(どんな数列かを表す)方法

(数列が)等差数列である

→ 階差の値が項番号nによらず一定である。

群数列(数列の各項をグループに分ける、区画に分ける)

■仕組み
☆「数列全体で何番目か」と「第何群の何番目か」の2種類の「順番」がある
☆「順番」を「それまでの項の個数」で捉えることができる
■準備しておきたいこと
☆第p群の様子をわかる範囲でメモしておく
☆第p群の末項までの項数を求めておく

■■■ 数 ■■■

定数・変数

■定数 ■変数

数のカテゴリー

■自然数
☆1,2,3,4,…
☆自然数同士は、足しても掛けても、 結果はまた自然数(「は加法・乗法に関して閉じている」という)
☆自然数同士は、引いたり割ると、結果は自然数とは限らない
☆自然数全体の集合は英語の「natural number」の頭文字をとって「」と書く
の部分集合
整数
☆…,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,…
☆整数同士は、足しても掛けても引いても、結果はまた整数(「は加法・乗法・減法に関して閉じている」という)
☆整数同時は、割ると、結果は整数とは限らない
☆整数全体の集合はドイツ語の「zahren」の頭文字をとって「」と書く
の部分集合
■素数
☆正の約数は1とそれ自身のみであるような2以上の整数である
☆正の約数がちょうど2個の自然数である
■有理数
☆「$\frac{(\text{整数})}{(\text{整数})}$」と表すことのできる数
☆有理数を$\frac{n}{m}$($n∈\mathbb{Z}$, $m∈\mathbb{Z}$)と表すとき 「$m>0$」「$m$,$n$の最大公約数は1」としておくと便利なことが多い。
☆有理数の全体はイタリア語の「quoziente」の頭文字をとって「$\mathbb{Q}$ 」と書く
☆有理数同士は、足しても掛けても引いても割っても、 結果はまた有理数(「$\mathbb{Q}$は四則演算に関して閉じている」という)
☆ $\mathbb{Q}$ は $\mathbb{R}$ の部分集合
■実数
☆数直線上に(「大きさ」の順に)並べることのできる数
☆実数同士は、足しても掛けても引いても割っても、結果はまた実数(「は四則演算に関して閉じている」という)
☆実数の全体は英語の「real number」の頭文字をとって「」と書く
☆任意の実数には、いくらでも大きさの近い有理数が存在する
の部分集合
■無理数
☆実数のうち、有理数でない数
☆√2や円周率π、自然対数の底eなど
☆無理数同士は、足しても掛けても引いても割っても、結果は無理数になるとは限らない
☆a+b×(無理数)=0 を満たす有理数a,bは(a,b)=(0,0)に限る
複素数
☆「数」を一般的に表したもの
☆一般の複素数は「大小」を考えることができない
☆複素数平面上の点と1対1に対応している
☆複素数同士は、足しても掛けても引いても割っても、結果はまた複素数に
☆複素数の全体は英語の「complex number」の頭文字をとって「」と書く
■虚数
☆複素数のうち、実数でない数
☆a+bi(a,bは実数、b≠0)と表せる
☆虚数同士は、足しても掛けても引いても割っても、結果は虚数になるとは限らない

■方程式の解
☆代入する(解の定義)
☆解く(公式、xを1箇所に集める、満たすものをすべて見つける)
☆(整式の方程式の場合)解と係数の関係
☆(実数解の場合)共有点の◯◯座標
■共通解
☆どちらの方程式(不等式)にも代入できる(解の定義)
☆一方の方程式を解き,他方に代入する
☆$f(x)=0$と$g(x)=0$の共通解$\alpha$:
 ・$f(\alpha)=0$かつ$g(\alpha)=0$を同値変形する
 ・$y=f(x)$のグラフと$y=g(x)$のグラフがいずれも点$(\alpha,0)$を通る

大小

☆形をそろえて、違うところだけを比べる
☆図形的な意味を考える.(「和」を「面積」とみなす等)
☆1変数なら「数直線」,2変数なら「座標平面」で捉える

桁数・最高位の数

■「=A×10n(1≦A≦9.99…)」と表したとき
☆桁数…n+1(「10n」を書き並べたときの0の個数+1)
☆最高位の数…Aの整数部分
■「=10α」を表したとき
☆n=(αの整数部分)
☆A=10(αの小数部分)

p進法(位取り記数法)

■「数そのもの」or「数の表示方法」どちらを問題としているのかに注意する
☆数そのもの…表示を何進法に書き換えようと大きさは不変
☆数の表示方法…2進法、3進法、など表示方法は様々
☆p進数「$ab\cdots cd_{(p)}$」:その大きさは「$ap^n+bp^{n-1}+\cdots +cp+d$」で表される
☆p進法$ab\cdots cd_{(p)}$からq進法$AB\cdots CD_{(q)}$への変換:$ap^n+bp^{n-1}+\cdots +cp+d=Aq^m+Bq^{m-1}+\cdots +Cq+D$
■p進法からq進法への変換
表す「数そのもの」の大きさは不変であることを利用する
(例) $ap^n+bp^{n-1}+\cdots +cp+d=Aq^m+Bq^{m-1}+\cdots +Cq+D$ を導けばp進法「$ab\cdots cd_{(p)}$」をq進法「$AB\cdots CD_{(q)}$」に変換できる

■■■ 極限 ■■■

無限級数

■$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n$
☆ 定義:部分和$\displaystyle S_N=\sum_{n=1}^N a_n$の$N\to ∞$としたときの極限のこと
☆ $a_n\to 0$でない限り、無限級数は発散
☆ $a_n\to 0$のときは、無限級数の収束・発散は計算してみないとわからない
☆ 無限等比級数なら「収束条件」と「和(極限値)」は公式


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図形を読み取るときの着眼点

●「絵」ではなく「情報」として捉える
●「求めたいもの」「使うべきもの」を含む「基本図形」のみを抽出
● 複雑な情報は一旦分割し、共通部分に注意しながら統合していく
● どの「量」で捉えるか(長さ?角?面積?比?座標?位置ベクトル?…)
●「対称性」に着目(考える部分を減らせる?&「真ん中」注意?)

■■■ 図形量 ■■■

■相似な三角形を疑う
■円周上の角(円周角) → 対応する円弧で捉える
■鋭角 → 直角三角形で sin, cos, tan の値を捉える
■座標平面 → 「傾き=tan」を利用
■ベクトル → 内積
■複素数平面 → 3点の位置関係orベクトルの回転拡大量を商で表す

内積

■[定義] (絶対値)×(絶対値)×cos(なす角)
■[図形的な意味] 一方のベクトル側に正射影したときの移動量(符号付き長さ)の積
■成分で表示した公式
■座標を導入する

面積

■三角形 ■四角形 ■円・扇型 ■境界に放物線がある図形 ■一般的な曲線で囲まれた図形

■■■ 定義・性質 ■■■

三角形の心

■重心
(定義) 3本の中線の交点
(性質) 1:2
■外心
(定義) 3本の辺の垂直二等分線の交点
(性質) 各頂点までの距離が等しい、外接円の中心
■内心
(定義) 3本の角の二等分線の交点
(性質) 各辺までの距離が等しい、内接円の中心
■垂心
(定義) 3本の垂線の交点
(性質) 90°の対辺を直径とする円が色んな場所にかける

曲線の定義・特徴
★定点からの距離が一定である点の集合 … 円
★2定点からの距離が
等しい(1:1である)点の集合 … 直線(垂直二等分線)
1:k(k≠1)である点の集合 …円(アポロニウスの円)
★2定点からの距離の
和が一定である点の集合 … 楕円
差が一定である点の集合 … 双曲線
★定点からの距離と定直線までの距離が
等しい(1:1である)点の集合 … 放物線
e:1(0<e<1)である点の集合 … 楕円
e:1(e>1)である点の集合 …双曲線
★円錐を平面で切った切り口
平面が円錐の軸に垂直 … 円
平面が円錐の母線に平行 … 放物線
それ以外 … 楕円 or 双曲線(母線の向きに注意して判断)

2次曲線
(→ 定義はこちら)
★楕円
・円に(相似拡大でない)拡大縮小を適当に施したもの
・「○2+△2=1」と表せる
 → 範囲の絞り込み
  1パラメータ表示(○=cosθ,△=sinθ)
★双曲線
・「(x,yの1次式)×[x,yの1次式]=(一定)」と表せる(反比例)
・→1パラメータ表示((x,yの1次式)=t,[x,yの1次式]=1/t)
・「(x,yの1次式)×[x,yの1次式]=0」としたものが漸近線となる(反比例の比例定数が0)
★放物線
・「○2=△」と表せる(△は○の2次関数)

■■■ 図形 ■■■

三角形

★形状の表現

正〇角形

★外接円を描いて捉える(中心角や円周角が有効に使える)
★二等辺三角形を抜き出す
★直角三角形を抜き出す

直線

★「通る1点」と「方向」のみで決まる
★空間の中では「2平面の共通部分」として決まる

★円周上の角(円周角) → 対応する円弧で捉える
★弦の長さ → (直径)×sin(円周角) (正弦定理)

■■■ 曲線 ■■■
グラフ・曲線をかくときに
■関数のグラフ(y=f(x))
先に調べる:★定義域
(大域的情報) ★区間毎の端っこの様子、漸近線
      ★周期性・対称性
後で調べる:★導関数の正負から増減、極値
(局所的情報) ★(2階導関数の正負から凹凸、変曲点)
■パラメータで表示された曲線(x=x(t), y=y(t))
★パラメータ(媒介変数)が変化すると点(x,y)が移動する。
★速度ベクトル(方向ベクトル)(x'(t), y'(t))の向きが点(x,y)の移動の向きである。

曲線が〜に関し て対称
■関数y=f(x)のグラフCについて
★ Cが直線x=aに関して対称である
 ⇔f(a+t)=f(a-t)が任意の実数tに対して成り立つ
★ Cがy軸に関して対称である
 ⇔f(t)=f(-t)が任意の実数tに対して成り立つ
★ Cが点(a,b)に関して対称である
 ⇔f(a+t)-b=-{f(a-t)-b}が任意の実数tに対して成り立つ
★ Cが原点に関して対称である
 ⇔f(t)=-f(-t)が任意の実数tに対して成り立つ
■曲線C:g(x,y)=0について
★ Cがy軸に関して対称である
 ⇔命題「g(a,b)=0⇒g(-a,b)=0」が成り立つ
★ Cがx軸に関して対称である
 ⇔命題「g(a,b)=0⇒g(a,-b)=0」が成り立つ
★ Cが原点に関して対称である
 ⇔命題「g(a,b)=0⇒g(-a,-b)=0」が成り立つ


■■■ 状態 ■■■
接する
■「何と何が?」「どこで?」
★ 円と直線(球と平面)が接する →「中心,接点を結ぶと90°」
★ 円と円(球と球)が接する →「中心,中心,接点が同一直線上」
★ 楕円と直線が接する →
・適当な拡大縮小で「円と直線」に帰着
・楕円の接線公式
・連立してできる2次方程式が重解をもつ
★ 2つの関数のグラフが接する
・整式f(x),g(x)の場合 → f(x)-g(x)が(x-α)2を因数にもつ
・一般の関数f(x),g(x)の場合 → f(t)=g(t)かつf'(t)=g'(t)

異なる3点A,B,Cが同一直線上にある
★ ∠ABC=0° or 180°
★ メネラウスの定理が成り立つ
★ 点Cが直線AB上ある
と表せる
★ 複素数γ-α/β-αが実数である
★ A,B,Cの座標を解にもつような(「x,yの」or「x,y,zの」)1次方程式が存在する(数III)
異なる4点A,B,C,Dが同一円周上にある
★ 点が同一平面上にあることを前提として、さらに
・円周角が等しい
・arg(γ-α/β-α)の絶対値がarg(δ-α/β-α)の絶対値またはその補角に一致する(数III)
・四角形の対角の和が180°である
・4点から等距離にある点が存在する
・2直線AB,CDの交点をOとした時の方向積(方べき)についてOA・OB=OC・ODが成り立つ
★ 点Dが△ABCの外接円上にある
★ A,B,C,Dの座標を解にもつような円の方程式が存在する

円と直線

■「長さ」(円の半径r、中心と直線の距離d、等)で読み取る
・円と直線が2点で交わる… d<r
・円と直線が接する… d=r
・円と直線が離れている… d>r
■直線の円の共有点の個数で読み取る
・円と直線が2点で交わる… 共有点は2個
・円と直線が接する… 共有点は1個
・円と直線が離れている… 共有点は0個

2点が直線に関して対称

■中点がその直線上
■2点を結ぶ直線とその直線が直交する

■■■ 基礎概念 ■■■
向き
■ 直線の向き
・方向ベクトル
・傾き(座標平面)
・偏角(座標平面、極座標平面)
■ 平面の向き
・2つの方向ベクトル
・法線ベクトル


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分野ごとの読解における着眼点

三角比

■鋭角の三角比
直角三角形に長さの比を書き込んで捉える。
■鈍角の三角比
符号は単位円で判断(三角関数の定義を利用)

整数の読みとり

■√、分数、log等の形をなくし、整数どうしの「+」「ー」「×」のみの式で表す。
■積の形で表し、「約数」の情報を集める。
■ある自然数で割った時の余りによって整数を分類して捉える。
■大小についての情報に注目する。

場合の数の読みとり

(→扱い方
■数える対象を正確につかむ(どう数えるか」以前に「何を数えるか」)
■数え易そうな別の対象にすり替える

整式の読みとり

■次数と係数で特徴づける
■表示方法を工夫する(展開,因数分解,除法の式,x-aの整式,など)
■四則演算は係数だけでできる
■2つの関数の差の式を考えると
・「因数」「=0の解」「グラフの共有点」と言い換えられる
・「多重因数」「=0の重解」「グラフの接点」と言い換えられる

図形と式の読みとり

■図形を式で表す方法
図形を「〜を満たす点の全体(集合)」と捉え、集合の記法にしたがって {点 | 点が満たす条件}と表す。
座標平面の場合 → { (x,y) | x,yが満たす関係式 }
座標空間の場合 → { (x,y,z) | x,y,zが満たす関係式 }
位置ベクトルの場合 → { P($\overrightarrow{p}$)| $\overrightarrow{p}$が満たす関係式 }
幾何的に直接扱う場合 → { P | 点Pが満たす完成式 }
極座標の場合(数学III)→ { (r,θ) | r,θが満たす関係式 }

三角関数の読みとり

■定義に従って読み取る
原点Oを中心として点(1,0)を反時計回りに角θだけ回したところに点Pがあるとき
【cos,sinの読み取り方】
・cosθ → PのX座標、sinθ → PのY座標
・(cosθ, sinθ) → Pの座標
・(cosθ, sinθ) →$\overrightarrow{\rm OP}$の成分
・tanθ → 直線OPの傾き
■式の形
sinとcosの対称式 → sin+cos=tとおくと簡単な表示に書き換えられる
sinとcosの2次式 → 倍角公式、半角公式を利用してsin,cosの1次式に書き換えられる
・sinとcosの1次式
  sin◯+cos◯ → 合成すると1つにまとまる
sin◯+sin□ → 和積公式を用いるとまとまるかも
cos◯+cos□ → 和積公式を用いるとまとまるかも
sin◯+cos□ → sinかcosに揃えれば上記のどれかになる

対数の読みとり

■「logab」とは「=bを作るのに必要な、aを掛ける回数」のことである

数列の読みとり

■$a_1,~a_2,~a_3,\cdots ,~a_n$,\cdots $というふうに「記号」を並べて、「列の様子」をつかむ.
(安易に$a_1,~a_2,~\cdots$の「数値による類推」に突っ走らない)
■「Σ」はバラして書き並べる.
■数列をどのように特徴付けるか(名称?一般項?漸化式?和?etc…)

ベクトルの読みとり

■「基準点」と「基本となるベクトル」(「基底」という.平面なら2つ.空間なら3つ)を 準備し、世界を「斜交座標」で捉える。
■計量のための「基本内積」を確認する。
■1つのベクトル →「位置」「変化量」の2通りの読み取り方をうまく利用する。
■ベクトルの和 → 係数の和を1にすると図形的に意味が取りやすい点(内分点、重心等)の位置ベクトルになる。

複素数の読みとり

■数の表示方法 ■図形的な意味

極限の読みとり

(→扱い方
■まず「数」的な状況確認を行う。ある程度の予測をする。
■近似
nが十分大きい時 → nの多項式は最高次の部分だけで近似される
θ≒0のとき → sinθ≒θ,$\displaystyle \frac{1-\cos\theta}{2}\risingdotseq \theta^2$,tanθ≒θ
t≒0のとき → $1+t\risingdotseq e^t$
x≒aのとき → $f(x)\risingdotseq f(a)+f'(a)(x-a)$

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キーワード毎の着眼点

ならば

任意の〜に対して…

必要・十分・同値

変化する、動く、一定である、とり得る値の範囲、最大・最小、…

値域

 … 実際にとることのできる値の範囲。値域の求め方

〜が一定である

 … 〇〇が変化するにもかかわらず、〜は変化しない。

周期

関数f(x)の周期がTであるとは
「すべての実数xに対してf(x+T)=f(x)が成り立つ」
「等式f(x+T)=f(x)がxの恒等式である」
数列{$a_n$}の周期がTであるとは
「すべての自然数nに対して$a_{n+T}=a_n$が成り立つ」

〜となる最大の…

「〜となる最大の…はAである」→Aは満たし、Aより大きいものは満たさない
「〜となる最小の…はAである」→Aは満たし、Aより小さいものは満たさない

共通接線

■y=f(x)とy=g(x)のグラフの共通接線
★接点は同一の点か否かに注意
★接点が同一の点 → 接点のx座標tについてf(t)=g(t),f'(t)=g'(t)
★接点が別 ■曲線Cと円の共通接線
★接点における曲線Cの法線が円の中心を通る
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入試で頻出の大テーマ

漸化式で定まる数列

極限の求め方
■$a_{n+1}=f(a_n)$で定まる数列の項$a_n$は関数$y=f(x)$のグラフと直線$y=x$を利用して読み取る

$n$個・$n$回後の問題

■すぐに$n=1,~n=2,~\cdots$という具体化に頼らない
■各回における状態を把握する(状態が少ないようなら全部かいて推移の確率などを求めておく)
■「初め→1回後→2回後→…→n回後」の状態推移を把握する
■一般の$n$のまま見える規則を探す
厳しいようなら
●「n回後→n+1回後」の関係をつかんで漸化式を立てる
●$n=1,~n=2,~\cdots$で実験し,(結果だけでなく,仕組みに対しての)規則を探す

未知関数の定積分を含む等式の問題(積分方程式)

■関数が整式で表されていないか確認
■一般の関数(整式でない)の場合
●まず積分変数以外の変数を積分の外に出す
●次に積分区間の上端・下端の文字に注意して
・両方とも定数なら積分を文字で置いて読み直す
・どちらかに変数が含まれる場合は「数値を代入して積分を消去」「両辺の導関数同士を比べる」

物理量に関する問題

仕組み
■すべての変量は時刻tの関数となっている
■独立に変化できる変数は1つだけである(自由度は1)
■(〜の速度)=(〜をtで微分したもの)
■(〜の速さ)=(「〜の速度」の絶対値)
準備
■すべての変量をそれぞれ文字で置いておく
■与えられた条件はどの変量に関する関係を表しているのかをつかむ
■求められているものが、どの変量間の関係であるかをつかむ

■ 確認事項など
困ったときにできること
「易しすぎる?」そんなときは…

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