誤り　 どんな $a$ だろうが、例えば $x=3+|a|$ は不等式を満たす。

誤り　 $P=Q$ でも $P\subset Q$ と言えるから，$n(P) = n(Q)$ かもしれない。

正しい　 例えば，$p:x>2$，$q:x>1$，$r:x>0$ の場合が考えられる。

誤り　 反例として $a=\sqrt2$ が挙げられる。$a^2=2$ は整数であるにもかかわらず，$a$は偶数ではない（どころか整数ですらない）。

誤り　 例えば，実数 $x$ についての条件
$p:$「$x$ は有理数である，$q:$「$x$ は整数である」について，
命題「$p$ ならば $q$（有理数はすべて整数である）」は偽であるが，
命題「$p$ ならば $\overline{q}$（有理数はすべて非整数である）」も偽である。

正しい　 有理数 $0$ と無理数 $\sqrt2$ の積 $0$ は有理数であり，有理数 $1$ と無理数 $\sqrt2$ の積 $\sqrt2$ は無理数である。

誤り　 否定は「全員が英語と数学の両方で満点をとるわけではない」と考えて，正しくは「少なくとも 1 人が英語と数学のいずれかでは満点を逃す」となる。

誤り　 例えば，$a=0.9$，$b=1.1$ のとき，$a$ と $b$ の差 $0.2$ は 1 より小さいが，$a$ と $b$ の間に整数 1 が存在する。

正しい　 $\frac{A-B}{A}=1-\frac{B}{A}$ であり，$A$ が小さくなるにつれ，$\frac{B}{A}$ は大きくなり $1-\frac{B}{A}$ は小さくなる。

正しい　 その２つの角を $\theta$，$180^\circ -\theta$ とすると，$\cos (180^\circ -\theta ) +\cos\theta =0$ が成り立つ。

正しい　 その２つの角を $\theta$，$90^\circ -\theta$ とすると，$\sin\theta =\cos (90^\circ -\theta )$ が成り立つ。$\cos\theta =\sin (90^\circ -\theta )$ も成り立つ。

正しい　 その２つの角を $\theta$，$90^\circ -\theta$ とすると，$\tan (90^\circ -\theta ) = \frac{1}{\tan\theta} $ より，$\tan\theta \times \tan (90^\circ -\theta ) =1$ が成り立つ。

正しい　 ２辺の長さを $b$, $c$ とし，夾角を $\alpha$, $\beta$ とすると，三角形の面積比は $\frac12 bc\sin\alpha : \frac12 bc\sin\beta = \sin\alpha : \sin\beta$

誤り　 例えば，$\sin\alpha = \frac12$, $\sin\beta = \frac{\sqrt3}{2}$ の場合，残りの内角を $\gamma$ とすると， $(\alpha, \beta, \gamma) =(30\text{°},60\text{°},90\text{°})$ や $(\alpha, \beta, \gamma) =(30\text{°},120\text{°},30\text{°})$ などが考えられる。

誤り　 例えば，$y=x^2 -1$ は $x\geqq 0$ において増加しているが，$0\leqq x<1$ では負の値をとる。

誤り　 例えは，$a=-1$，$b=1$，$y=-x^2$ だと，$y$ が最小値をとる $x$ は $x=-1$ と $x=1$ の2つある。

正しい　 $y=f(x)$ のグラフが「$x$ 軸の負の部分」「$y$ 軸の正の部分」「$x$ 軸の正の部分」を通ることから，上に凸だとわかる。

誤り　 例えば $a=1$，$b=0$，$c=-1$のとき，2 次関数 $y=x^2-1$ のグラフは $x$ 軸の正の部分とただ 1 つの共有点 $(1,0)$ をもつが，$b^2-4ac=4\neq 0$ である。

誤り　 $x^2$ の係数が負であり，グラフの対称軸が $a< x< b$ にある場合は，その対称軸の $x$ において最大値をとる。

誤り　 グラフで判断するとよい。$f(x)$ の $x^2$ の係数が正ならば $\text{「}(f(x)\text{の最小値}) \leqq y \text{」}$ と表され， $f(x)$ の $x^2$ の係数が負ならば $\text{「}y \leqq (f(x)\text{の最大値})\text{」}$ と表される。

正しい　 定義から，(四分位範囲)=(第3四分位数)-(第1四分位数) であり，(データの範囲)=(最大値)-(最小値) である。

正しい　 定義から，(四分位偏差)=(四分位範囲)/2 である。

誤り　 最大値辺りの値だけが極端に大きい場合などは平均値が第３四分位数を超えることがある。例えば，「0,0,0,0,1,11」というデータでは，(平均値)=2，(第３四分位数)=1 である。

誤り　 例えば，「0,1,2,3,4,4,14」というデータでは，(中央値)=3，(最頻値)=(平均値)=4 である。

誤り　 相関係数は -1 以上 1 以下に収まるように定義されている。

正しい。　 偏差（$x-\overline{x}$）の平均は必ず0になる。実際，$\overline{x-\overline{x}~}=\overline{x}-\overline{x}=0$

誤り　 箱ひげ図からは最小値，第一四分位数，中央値，第三四分位数，最大値という「データの分布の様子」しかわからないので，データの大きさ（含まれる数値の個数）を知ることはできない。

誤り　 例えば，サイコロを振る試行において，「偶数が出る」「奇数が出る」という2つの事象は起こる確率は等しいが同じ事象ではない。

誤り　 「全事象（何かが出るという事象）」は1つしかない。

正しい　 全事象と空事象の和事象は全事象だから，その確率は 1 である。全事象の確率は 1，空事象の確率は 0 であり，全事象と空事象は互いに排反だから，その和事象の確率は $1+0=1$ である，と考えてもよい。

誤り　 球が何個入っているかわからず，各色の球がどのような割合で取り出されるかが未知である。ひょっとしたら「青色１個，赤色１個，黄色８個」という設定かもしれない。

誤り　 $-7=3\times (-3)+2$ だから，$-7$ を 3 で割った余りは 2 である。因みに「余り」の定義から，3 で割った余りは一般に 0, 1, 2 のいずれかである。

正しい　 $(a+b)-(a-b)=2a$であり，「和と差の差が偶数である」ことから「和と差は偶奇が一致する」。

正しい　 $x\geqq 1$, $y\geqq 1$, $z\geqq 1$ だから $2x+3y+4z$ の値は必ず 9 以上であり，方程式が成り立つことはない。

正しい　 この数 $abc11_{(2)}$ を 2 で割ると余りが 1 であり，さらにその商 $abc1_{(2)}$ を 2 で割ると余りが 1 であるから，$abc11_{(2)}$ を 4 で割ると余りは 3 である。 $abc11_{(2)} = abc_{(2)}\times 2^2 +1\times 2 +1 =4\times (\text{整数}) +3$
と考えてもよい。

誤り　 一般に，差が自然数 $a$ で割り切れる２つの整数は $a$ で割ったときの余りが等しい

誤り　 角の二等分線の性質から，BD:DC=AB:AC だから，AB≠AC の場合 D は辺 BC の中点ではない。

正しい　 二等分線と円弧の交点をEとするとき，円周角 $\angle{\rm BAE}$ と $\angle{\rm CAE}$ が等しいことから，円周角の定理により BE=CE となる。

誤り　 円周角が90°を超えると円周角が増加するにつれ弦の長さは短くなっていく。
正弦定理より，(弦の長さ)=(直径)$\times \sin$(円周角)

正しい　 それが重心です。「チェバの定理の逆」という定理を利用するなどして確認できます。

誤り　 外心と垂心は三角形の外側にあるが，内心は（３つの内角の二等分線上にあるので）三角形の内側にある。

誤り　 C，A，B がこの順に一直線に並んでいる場合，C は線分 AB の外分点であり，しかも B は線分 AC の外分点である。

正しい　 点 C は AB を直径とする円周上にある。

正しい　 係数が実数であれば，虚数解は現れたとしても共役複素数 $a+bi$，$a-bi$ のセットとなるため，和を計算するとその虚部は打ち消しあう。

誤り　 ３次方程式 $ax^3+bx^2+cx+d=0$ の３解の積は $-\frac{d}{a}$ に一致するから，$x^3$ の係数も関わってくる。

誤り　 底が１より大きいならグラフは右上がりだが，底が１より小さいならグラフは右下がりである。 つまり，指数関数 $y=a^x$ は $a>1$ ならば単調増加であり，$(0< )a< 1$ ならば単調減少である。

正しい　 指数関数 $y=a^x$ が単調減少ならば，$(0<) a < 1$ とわかり，このとき指数関数 $y=a^x$ は単調減少とわかる。

正しい　 $y=\log_a x$ のグラフを $y$ 軸方向に $\log_a 2$ だけ平行移動させるとよい。$y=\log_a x +\log_a 2 = \log_a 2x$

正しい　 半角・倍角の関係式 $\sin^2 x= \frac12(1-\cos 2x)$，$\cos^2 x=\frac12(1+\cos 2x)$，$\sin x\cos x=\frac12 \sin 2x$ を用いると $\text{「}(\text{定数})\sin 2x + (\text{定数})\cos 2x + (\text{定数})\text{」}$と表され，さらに合成の公式を用いると $\text{「}(\text{定数})\sin (2x +(\text{定数})) + (\text{定数})\text{」}$の形に変形できる。

正しい　 $x$ の値を 0 からどんどん大きくしていきながら単位円上の点 $(\cos x,~\sin x)$ の動きを追っていくと， $\sin x=0$ となる点（ $(\pm 1,0)$ ）と $\cos x=0$ となる点（ $(0,\pm 1)$ ）が１つずつ交互に現れる。 初めに現れるのが前者であることから，$0\leqq x\leqq a$ の範囲において， $\sin x=0$ となる点の個数は $\cos x=0$ となる点の個数より 1 だけ大きいかまたは等しい。

誤り　 $ax+by+c$ が負の値をとる側の領域では，点 $(x,y)$ が直線 $ax+by+c=0$ から遠のけば遠のくほど $ax+by+c$ の値は小さくなる。 因みに，$|ax+by+c|$ の値は大きくなる。

正しい　 点と直線の距離公式より，点 $(x,y)$ と直線 $ax+by+c=0$ の距離は $\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}|ax+by+c|$ （比例定数は $\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}$ ）と表される。

誤り　 円の内部の点からは１本も引けないし，円周上の点からは１本しか引けない。

誤り　 例えば，$f(x)=x^2-1$ の場合，導関数 $f'(x)=2x$ が増加する区間は実数全体であるが，もとの関数 $f(x) =x^2$ は $-1< x< 1$ において負の値をとる。

正しい　 その原始関数を $f(x)$ とすると，元の関数は $f(x)$ からみて導関数となっており $f'(x)$ と表せる。$f'(x)<0$ となる区間において $f(x)$ はつねに減少する。

誤り　 例えば，$f'(x)=(x-1)^2(x-2)^2$ だと，方程式 $f'(x)=0$ は異なる2つの実数解 $x=1,~2$ をもつが， $f'(x)$ はつねに０以上の値をとる（とくに $x\neq 1,~2$ ではつねに正の値をとる）ので，$f(x)$ は単調増加であり極値をもたない。

誤り　 その面積 $S$ は共有点の $x$ 座標 $\alpha$ と $\beta$ の差 $\beta -\alpha$ だけでなく，２次関数の $x^2$ の係数にも依存する。 $S= \frac{|a|}{6}\big| \beta - \alpha \big|^3$

誤り　 $(a_2-a_1)+(a_3-a_2)+(a_4-a_3) = a_4 -a_1$であり，$a_1\neq 0$ の場合は $a_4$ とは異なる値をとる。

誤り　 どんな等差数列 $\{ a_n \}$ もその階差の値は $n$ によらず一定（公差）であり，増えたり減ったりすることはない。

正しい　 例えば，座標平面において $\overrightarrow{a}=(2,0)$，$\overrightarrow{b}=(1,0)$ の場合， $\overrightarrow{c}=(0,1)$ を $\overrightarrow{c}=\bigcirc \overrightarrow{a}+\bigcirc \overrightarrow{b}$ と表すことは不可能である。

正しい　 $\overrightarrow{\rm AB}$ と $\overrightarrow{\rm BC}$ は，始点をそろえて図示すると，そのなす角 $\theta$ が鈍角だとわかり，内積は負の値をとる。 $\overrightarrow{\rm AB} \cdot \overrightarrow{\rm BC} = \big| \overrightarrow{\rm AB}\big| \big| \overrightarrow{\rm BC}\big| \cos \theta <0$

誤り　 例えば，$xy$ 平面上に $\overrightarrow{a}=(1,0)$，$\overrightarrow{b}=(0,1)$，$\overrightarrow{c}=(1,1)$ をとることができる。