目的別手段の分類整理

「目的」一覧

その目的に対する手段

大小に関するもの

最大値・最小値を求める

• 1変数化（by文字消去、文字固定、置換）して増減を調べ(by変数を1ヶ所にまとめる、グラフ、微分係数の符号、階差の符号）、変数に何を代入したときに最大・最小となるのかを見つけ出す。
• 不等式を示し、等号が成り立つ可能性を述べる
• 「=k」となるときの変数の値が存在するための条件を求めることで、kが値域に属する条件を求める

値域（とり得る値の範囲）を求める

• 1変数化（by文字消去、文字固定、置換）して増減を調べる(byグラフ、微分係数の符号、階差の符号）
• 「=k」となるときの変数の値が存在するための条件を求めることで、kが値域に属する条件を求める

不等式を証明する

• 比較の対象（主体・客体）を単純化する（by差と0の比較、商と1の比較、2乗どうしを比べる、定数を分離して比べるなど）
• 1文字だけを変数と見て、関数の増減に帰着する
• 大小を視覚的に捉える（傾き、面積、y座標など）
• 既知の不等式を利用する（公式、数学的帰納法、自分で大小設定、問題文中など）
• 背理法

大小を比べる

• 出来るだけ形をそろえて、異なる部分のみを比較する
• 「差と0の比較」「商と1の比較」「未知定数を分離して比較」などに帰着する
• 数直線上に描く
• 1文字だけを変数と見て関数のグラフの上下を読み取る

求値・計算問題

値を求める

• 未知数の個数と同じ数だけの等式を用意する

個数を求める

確率を求める

和の計算

極限の計算

• まず数的な状況確認（「めっちゃ大きい分のめっちゃ大きい」etc）
• 不定形でないならそのまま処理
• 不定形なら取り除く
• 式変形
• 公式（sinθ≒θ，1+h≒，f(x)-f(a)≒(x-a)f'(a)，区分求積，etc）
• 置換
• はさみうち
• 特殊テーマ（漸化式で表された数列の極限、）

和の極限・無限級数

• まず、「区分求積」や「無限等比級数」を疑う
• そうでないなら、一旦和（部分和）を計算、後で極限を計算
• それでもダメなら、和の大体の大きさを把握し、不等式で評価する

積分の計算

• 原始関数を見つける
• 微分公式の形に変形する
• 微分しながらつくる
• 合成関数の微分の逆を疑う
• 部分積分法（logの積分で困ったとき，多項式の次数を上げ下げしたいとき，…）
• 置換積分法・積分における変数関数（dx=…，積分区間）

面積を求める

• 相似比を利用する
• 基本的な図形なら固有の面積公式を用いる
■三角形の面積
• 底辺と高さ → 1/2×(底辺)×(高さ)
• 2辺と夾角 → 1/2×(辺の長さ)×(辺の長さ)×sin(なす角)
• 2ベクトルの絶対値と内積 → 1/2√{|…|²|…|²-(内積)²}
• 2つの平面ベクトルの成分（座標平面における3頂点の座標）→ 1/2|x₁y₂-x₂y₁|
• 3辺 → ヘロンの公式
■四角形の面積
• 正方形・長方形・平行四辺形 → $\frac12 (\text{底辺})\times (\text{高さ})$
• 一般の四角形 → $\frac12 (\text{対角線の長さの積})\times \sin (\text{対角線のなす角})$
■円・扇型の面積
• $\frac12 (\text{半径})\times (\text{円弧の長さ})$
• (半径)$^2\times$(円周率)$\times \displaystyle \frac{(\text{中心角})}{2\pi}$
• それ以外なら定積分で計算する
• まず立式
1. 切り口の線分を積み重ねる方向を決める（積分方向）
2. 切り口の線分が存在する範囲を調べる（積分区間）
3. 切り口の線分の長さを求める（被積分関数）
• 次に1変数化
• そして積分計算

体積を求める

• 基本的な立体なら固有の体積公式を用いる
• 立方体，直方体，◯◯柱　…　(底面積)×(高さ)
• 四面体，◯◯錐　…　1/3×(底面積)×(高さ)
• それ以外なら定積分で計算する
• まず立式
1. 断面を積み重ねる方向を決める（積分方向）
2. 断面が存在する範囲を調べる（積分区間）
3. 断面積を求める（被積分関数）
• 次に1変数化
• そして積分計算

漸化式から一般項を求める（漸化式を解く）

• 知っているパターンに帰着させる
• 「an+1+f(n+1)=r{an+f(n)}」（等比数列）の形へ
• 「an+1=an+f(n)」（階差がわかる）の形へ
• 推定&証明

和を含む式から一般項を求める

整式で割り切れることを証明する

• 実際に割り算して余りが0であることを示す
• 余りをrとおき、r=0を示す
• f(x)がax+bで割り切れる ← f(ax+b=0の解)=0を示す
• [特に]f(x)がx-αで割り切れる ← f(α)=0を示す

• 実際に割り算して余りが0であることを示す
• 余りをax+b,a(x-α)などとおき、それが0であることを示す
• f(x)がax²+bx+cで割り切れる ← ax²+bx+c=a(x-α)(x-β)と変形し
• α≠β ← f(α)=0,f(β)=0を示す
• α=β ← ★f(α)=0,f'(α)=0を示す
　　　★f(x)をx-αで割った商を求め、それがx-βで割り切れることを示す

• 実際に割り算して余りが0であることを示す
• 余りを適切な形で式で表し、それが0であることを示す
• f(x)がg(x)で割り切れる ← g(x)=a(x-α)(x-β)…(x-γ)と変形し
  α,β,…,γが相異なる ← f(α)=0,f(β)=0,…,f(γ)=0を示す

格子点の個数を数える

• 一旦列ごとに個数を求め、あとで集計する
  （一旦x=kである格子点の個数をyの個数として求め、あとで、すべてのkに対してΣ計算を行う）

実数解の個数を求める

• 実数解の個数をグラフの共有点の個数に置き換えて考える

接線の本数を求める

• 接線の本数を接点の個数に置き換えて考える
• 必要に応じて、接点の個数を接点のx座標tの個数などに置き換えて考える
• 接線と接点が１対１に対応しているかどうか確認する（個数にズレが生じなないか）

• 長さ，円の半径，四角形の面積，正５角形の周長，比，面積比，四面体の体積

「角」の定式化

• 三角比
• 直角三角形、正弦定理、余弦定理
• ベクトルの内積
• 座標平面において、「傾き=tan」を利用してtanの加法定理
• 複素数平面において、３点の位置関係を商で表す

平面の法線ベクトルを立てる

• 法線ベクトルの成分を(a,b,c)とし、(内積)=0の式を2本立ててa,b,cの比を求める
• (y₁z₂-z₁y_2, z₁x₂-x₁z₂, x₁y₂-y₁x₂)（外積の成分）

三角形の形状を求める

図形の決定（軌跡・領域）

• 点の動きを直接捉える。
• 点の集合 {点|点が満たす条件} として捉え、
  1. 点を文字で置き、（P、(x,y)、(r,θ)など）
  2. その文字が満たす条件を求める。
• 各図形の定義に当てはまってないか疑う。
• パラメータで動く場合（例えばパラメータaにより点(x,y)が動く場合）
  →　平面上に勝手にとった定点(X,Y)がその図形に属するための条件を、
  「あるaをうまくとると動点(x,y)がその定点(X,Y)に位置する」
  を言い換えて求める。

漸化式を立てる

• 「a_n+1=(a_nの式)」という形の漸化式を立てたいとき
• a_n+1とは何かを確認し、
• 何かしらの適切な分類の観点を1つ決めて、
• 各分類のそれぞれにおいて、その何かをa_nで表したら、
• 最後にまとめ上げる

• 余りを求める（整式）

直線の式を求める・作る

• 「通る1点」と「向き」を決め、立式する
• 座標平面上の直線の立式
• y=mx+n（楽だが，鉛直方向の直線は表せないし，y切片が分かってないと面倒）
• y=m(x-a)+b（「通る1点」と「傾き」が分かれば幅広く使えるが，鉛直方向の直線は表せない）
• ax+by+c=0（全ての直線を表せるが，cの図形的意味が捉えづらい）
• a(x-p)+b(y-q)=0（「通る1点」と「法線ベクトル」が分かれば使える上に，全ての直線を表せる．これが無敵！）

表現や式・図形の変換

因数分解

• 共通なものでくくる
• 2文字以上を含む → 1文字（次数が最小のもの）について整理する
• 2次式 → タスキがけ
• 公式を利用

同値変形

• 分母を払う（実数の範囲で考えた場合）
  A/B=C A=BCかつB≠0
  A/B>C （B>0かつA>BC）または（B<0かつA<BC）
• 2乗する（実数の範囲で考えた場合）
  A=√B A²=BかつA≧0
  A>√B A>0かつA²>BかつB≧0
  A<√B A<0または（A≧0かつA²<B）

存在することの証明

• 実際に1つ見つける。
• 存在するための条件を確認し，その条件が満たされていることを示す。

存在しないことの証明

• 存在を仮定して矛盾を導く。
• 存在するための条件を確認し，その条件が満たされていないことを示す。

「pまたはq」の証明

• 「pでないならばqである」を示す。
• 条件p，qの全体集合（真理集合）P，Qとして，任意の要素が集合P∪Qに属することを示す。
• 「pでもqでもない」と仮定し，矛盾を導く。

「p⇔q」の証明

• pを同値変形し、qを導く
• 「p⇒q」と「q⇒p」を別々に示す
• 「pが成り立つならqが成り立つ」と「pが成り立たないならqは成り立たない」を別々に示す

一定であることの証明

• それを変数の式で表示して整理すると，変数の文字が消えることを確認する。
• 導関数が0であることを示す。

4点が同一円周上にあることの証明

• 円周角の定理の逆を示す。
• 四角形の1組の対角について、その大きさの和が180°であることを示す。
• 方べきの定理の逆を示す。
• 4点までの距離が等しいような点を見つける。
• 4点の座標or複素数or位置ベクトル満たす方程式を見つける。

• その状態の定義を確認し，それを示す

• 余りが1であることの証明
• f(α)=f(β)=0の証明

特殊テーマ

漸化式an+1=f(an)で表された数列（読み取り方）の極限

• 一般項が求めて極限を計算する。
• 極限値αを予測し、|an-α| が0に収束することを示す。
• αは方程式x=f(x)である。
• |an+1-α|≦|an-α|（kは1より小さい正の数）を作る。

難しさの原因を取り除く

掛け算や指数の脅威を取り除きたい

積分の中の絶対値記号を外す

1. 絶対値の中身の正負を調べる（必要なら、絶対値の中身のグラフを描いて調べる）
2. 積分区間を分割し、各積分ごとに絶対値記号を外す

考えなくてはならない場合が多い

1. 「条件の否定」「補集合」「余事象」を考えてみる